Mecánica estadística (Sistemas con un gran número de partículas)

 La ley de conservación de la energía, al ser aplicado a un sistema compuesto de un número pequeño de partículas, tal como nuestro sistema planetario o un átomo con posos electrones, requiere el cómputo de varios términos que forman la energía internaSin embargo, cuando el número de partículas en muy grande, tal como en un átomo de muchos electrones o un gas compuesto de millones de moléculas, el problema resulta demasiado complicado matemáticamente. Debemos entonces usar ciertos métodos estadísticos para computar valores promedio de las cantidades dinámicas en vez de valores individuales precisos para cada componente del sistema. Además, en los sistemas complejos no estamos interesados en el comportamiento de cada componente individual (ya que dicho comportamiento no es observable en general) sino en el comportamiento del sistema como un todo. La técnica matemática para tratar esos sistemas constituyen lo que se llama la mecánica estadística. Si nos olvidamos por un momento de la estructura interna del sistema,usando valores medidos experimentalmente para U y W, estamos empleando otra rama de la física, la termodinámica.

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¿Qué es la Mecánica Estadística?

En la Grecia antigua, Demócrito y los atomistas explicaban las distintas propiedades de líquidos y sólidos a partir de las cualidades de ciertas unidades invisibles e indivisibles que ellos llamaban "átomos". Sin darle ese nombre, al vincular las propiedades microscópicas de los corpúsculos con las macroscópicas de los materiales, incursionaban por primera vez en una disciplina que ahora llamamos física estadística. En efecto, la física o mecánica estadística estudia el comportamiento de sistemas compuestos por un gran número de unidades interactuantes. Conforma, de alguna manera, un puente entre el mundo pequeño de un individuo y las propiedades globales del conjunto que lo contiene.

Las unidades que conforman estos sistemas son generalmente microscópicas: los átomos o moléculas que ---sabemos hoy--- componen los gases o la materia condensada (líquidos, sólidos, y materiales con propiedades intermedias), son el ejemplo clásico. El número inmenso de estas unidades presente incluso en la más pequeña porción microscópica imaginable de materia hace imposible soñar con un conocimiento completo del conjunto. Esto es cierto aún cuando las reglas que vinculan las interacciones entre unidades son relativamente simples y conocidas. La ley de interacción entre cargas o ley de Coulomb, por ejemplo, es conocida desde el siglo XVIII. Sin embargo, el comportamiento de los electrones en un material es aún motivo de asombro en los laboratorios y de un progreso aparentemente imparable en el sector tecnológico. El hecho es que cuando el número de constituyentes de un conjunto crece más y más, la barrera entre las diferencias meramente cuantitativas y las cualitativas parece borronearse. De esta manera fenómenos o fases nuevos y en ocasiones impredecibles, pueden tener lugar en un sistema. La complejidad que surge de la relativa simplicidad de las reglas de juego es asombrosa: la vastísima variedad de propiedades estructurales, electrónicas, magnéticas y ópticas de la materia que nos rodea (capaz incluso de organizarse y componer organismos vivos) son un ejemplo aplastante de ello.

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Comparación de las tres estadísticas

•1.

MB: se aplica a partículas discernibles.

• 2.

BE: se aplica a bosones (spin entero). Función de onda

simétrica. Fotones (S=1), núcleos de He

2, He4, O16

• 3.

FD: se aplica a fermiones (spin semientero). Función de

onda antisimétrica. Electrones, protones, neutrones,

núcleos de Cl

35 (S=3/2)

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Estadística de Fermi-Dirac (FD)

En esta estadística las partículas son indiscernibles y la

función total ha de ser antisimétrica

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Estadística de Bose-Einstein (BE)

Esta estadística se aplica a bosones. La función de onda total

ha de ser simétrica lo que implica que no hay ninguna

limitación sobre el número de partículas en cada nivel.

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modelo

Modelo:

• -

Las N partículas son idénticas (sustancia pura)

• -

Las partículas son permanentes (equilibrio químico)

• -

El sistema está en estado estacionario

•-

Las partículas son independientes (gas ideal)

Para especificar el

microestado es necesario

especificar si las partículas son discernibles (clásicas) o

indiscernibles (

fermiones, bosones)

Estadística de Maxwell-Boltzman

(MB): se aplica a partículas

discernibles

Estadística de Bose-Einstein

(BE): se aplica a bosones

(partículas indiscernibles de spin entero)

Estadística de Fermi-Dirac

(FD): se aplica a fermiones

(partículas indiscernibles de spin semientero)

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Mecánica clásica

Mecánica clásica: con N partículas el estado está definido por

el valor del las f coordenadas de posición y los f impulsos de

cada partícula.

Mecánica cuántica: el estado está descrita por la función de

estado Y.

E Hˆ

Y = Y [12.1]

Y

= Y(q1, q2, ... , qN, t) [12.2]qi son las coordenadas espaciales y de espín.

Microestados y macroestados.-

Microestados y macroestados.-

Consideremos un sistema de N partículas independientes. Cada partícula puede estar en cierto estado cuántico,



alguno de los cuales puede coresponder a un nivel energético degenerado (esto significa que algún autovalor de la función de onda puede tener multiplicidad superior a 1). Un nivel energetico lo representaremos por una celda subdividida en compartimentos. El número de compartimentos es igual al orden de degeneración del nivel energético.

La hipótesis fundamental que hacemos es considerar que el comportamiento macroscópico del sistema depende solamente de cuantas partículas existen en cada celda y no de su distribucion entre los diferentes estados cuánticos (compartimentos) correspondientes al mismo nivel energético (celda).
Definimos entonces un "macroestado" del sistema especificando cuantas partículas existen en cada celda, mientras que un "microestado" es la especificación de cuantas partículas existen en cada compartimento de una celda.

Debido al principio de indistinguibilidad de las partículas, estas no pueden ser numeradas y, por tanto, si los niveles energéticos no fuesen degenerados se identificarían los microestados con los macroestados. Como ejemplo, supongamos un sistema de 2 partículas que pueden estar en dos niveles energéticos, 1 y 2, con degeneraciones respectivas g₁ = 2 y g₂ = 3. Según lo dicho, existen tres posibles microestados :

las dos partículas están en el nivel 1 : (2 , 0)
las dos partículas están en el nivel 2 : ( 0 , 2)
cada partícula está en un nivel (celda) : (1 , 1)

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Principio de indistinguibilidad de las partículas

<div>
<span style="font-size:130%;"><strong>Principio de indistinguibilidad de las partículas idénticas</strong></span>
Según la mecánica estadística clásica, cada partícula de un sistema poseía una individualidad reconocible, a pesar de la identidad de sus propiedades físicas.
En la mecánica cuántica, sin embargo, la situación cambia por completo, conforme se sigue directamente del principio de indeterminación de Heisenberg, según el cual la precisión con que pueden determinarse las coordenadas de posición (x,y,z) y de cantidad de movimiento (px , py , pz) viene limitada por las condiciones :


<p><img style="TEXT-ALIGN: center; MARGIN: 0px auto 10px; WIDTH: 200px; DISPLAY: block; HEIGHT: 18px; CURSOR: hand" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5487967824206724274" border="0" alt="" src="http://1.bp.blogspot.com/_1RYXDrWreUw/TCktqNydfLI/AAAAAAAAAAM/FdCu8VQH1Uk/s200/1.gif" />
En virtud de este principio, el concepto de trayectoria de la partícula pierde por completo su sentido.
Así pues, no existe por principio posibilidad ninguna de seguir por separado cada una de las partículas idénticas y con ello distinguirlas. En mecánica cuántica las partículas idénticas pierden por completo su individualidad. La identidad de las partículas en lo que concierne a sus propiedades físicas tiene entonces un sentido muy profundo en mecánica cuántica: conduce a la indistinguibilidad completa de las partículas.
Este es el llamado principio de indistinguibilidad de las partículas y representa un papel fundamental en el estudio mecánico-cuántico de un sistema constituido por partículas idénticas.
Según este principio, en un sistema de partículas idénticas solo son posibles aquellos estados que no cambian cuando se intercambian entre si dos partículas idénticas. Como consecuencia, no importa que partícula está en qué estado, sino únicamente cuantas partículas estan en cada estado.
Consideremos un sistema constituido por N partículas idénticas y sea: </p><img style="TEXT-ALIGN: center; MARGIN: 0px auto 10px; WIDTH: 200px; DISPLAY: block; HEIGHT: 20px; CURSOR: hand" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5487968500595270930" border="0" alt="" src="http://1.bp.blogspot.com/_1RYXDrWreUw/TCkuRliDpRI/AAAAAAAAAAU/tyy7jLH0Pkk/s200/mecest003.gif" />
la función de onda del sistema, donde ei representa el conjunto de todas las coordenadas de la partícula i (traslación y rotación).
Por el principio de indistinguibilidad, la función de onda que se obtiene al intercambiar entre sí dos partículas debe representar el mismo estado que la función de onda original. esto equivale a decir que la función de onda del sistema puede variar tan sólo en un factor de fase carente de importancia, es decir:
<strong></strong><a href="http://3.bp.blogspot.com/_1RYXDrWreUw/TCkvuwnEH_I/AAAAAAAAAAk/KWXmhqRkjlM/s1600/mecest004.gif"><img style="TEXT-ALIGN: center; MARGIN: 0px auto 10px; WIDTH: 320px; DISPLAY: block; HEIGHT: 17px; CURSOR: hand" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5487970101296898034" border="0" alt="" src="http://3.bp.blogspot.com/_1RYXDrWreUw/TCkvuwnEH_I/AAAAAAAAAAk/KWXmhqRkjlM/s320/mecest004.gif" /></a>
donde a es una constante real. El resultado de permutar de nuevo las dos partículas es volver al estado inicial, mientras que la función queda multiplicada por e2ia y, por tanto: </div><div></div><div></div>
<a href="http://4.bp.blogspot.com/_1RYXDrWreUw/TCkwQ9k9UeI/AAAAAAAAAAs/5pynuv_s5_I/s1600/mecest005.gif"><img style="TEXT-ALIGN: center; MARGIN: 0px auto 10px; WIDTH: 203px; DISPLAY: block; HEIGHT: 24px; CURSOR: hand" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5487970688893276642" border="0" alt="" src="http://4.bp.blogspot.com/_1RYXDrWreUw/TCkwQ9k9UeI/AAAAAAAAAAs/5pynuv_s5_I/s320/mecest005.gif" /></a>
<div>Se presentan entonces dos posibilidades: la función de onda o es simétrica (no cambia en absoluto como resultado de la permutación de las dos partículas) o es antisimétrica (cambio de signo al efectuar la permutación).

El que un sistema de partículas idénticas venga descrito por una función de onda simétrica o antisimétrica depende de la natrualeza de las partículas que lo componen. A las partículas que se describen mediante funciones antisimétricas se les llama fermiones y a las partículas que se describen mediante funciones simétricas se les llama bosones. La mecánica cuántica relativista demuestra que las partículas de "spin" semientero son fermiones y las de "spin" entero son bosones. Ejemplos de bosones son los fotones y las moléculas de He4, mientras que ejemplos de fermiones son los neutrones, propones, electrones y las moléculas de He3. </div>

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Modelo de Ising

El modelo de Ising es un modelo físico propuesto para estudiar el comportamiento de materiales ferromagnéticos. Se trata de un modelo paradigmático de la Mecánica Estadística, en parte porque fue uno de los primeros en aparecer, pero sobre todo porque es de los pocos modelos útiles (no sólo pedagógicamente) que tiene solución analítica exacta (esto es, sin cálculos aproximados). Esto lo hace muy útil para ensayar nuevos tipos de aproximaciones y luego comparar con el resultado real.

Fue propuesto por Ernst Ising, quien intentaba demostrar que el sistema presentaba una transición de fase. Demostró que en una dimensión no existía tal transición, cosa que le provocó una profunda desmoralización e hizo que renunciara a la física estadística. A esta primera aproximación le siguió la del modelo de Ising en dos dimensiones, resuelta por Lars Onsager. La solución de Onsager al modelo de Ising en dos dimensiones sin campo demostró que la física estadística era capaz de describir transiciones de fase lo que terminó de consolidar definitivamente la mecánica estadística.

Duarte C. Ronny J.

           CI 17208010

Postulado fundamental

El postulado fundamental de la mecánica estadística, conocido también como postulado de equiprobabilidad a priori, es el siguiente:

Dado un sistema aislado en equilibrio, el sistema tiene la misma probabilidad de estar en cualquiera de los microestados accesibles

Este postulado fundamental es crucial para la mecánica estadística y afirma que un sistema en equilibrio no tiene ninguna preferencia por ninguno de los microestados disponibles para ese equilibrio. Si Ω es el número de microestados disponibles para una cierta energía, entonces la probabilidad de encontrar el sistema en uno cualquiera de esos microestados es p = 1/Ω;

Este postulado es necesario para poder afirmar que dado un sistema en equilibrio, el estado termodinámico (macroestado) que está asociado a un mayor número de microestados es el macroestado más probable del sistema.

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La entropía como desorden

En todos los libros de termodinámica se interpretan la entropía como una medida del desorden del sistema. De hecho, a veces se enuncia el segundo principio de la termodinámica diciendo que el desorden de un sistema aislado sólo aumenta. Es importante saber que no obstante esta relación viene, como acabamos de saber, de la mecánica estadística. La termodinámica no es capaz de establecer esta relación por sí misma, pues no se preocupa en absoluto por los estados microscópicos. En este sentido la mecánica estadística es capaz de demostrar la termodinámica, ya que partiendo de unos principio más elementales (a saber, los mecánicos) obtiene por deducción estadística el segundo principio.

 

Procedimientos de cálculo

La formulación moderna de esta teoría se basa en la descripción del sistema físico por un elenco de conjuntos o colectividad que representa la totalidad de configuraciones posibles y las probabilidades de realización de cada una de las configuraciones.

A cada colectividad se le asocia una función de partición que, por manipulaciones matemáticas, permite extraer los valores termodinámicos del sistema. Según la relación del sistema con el resto del universo, se distinguen generalmente 3 tipos de colectividades, en orden creciente de complejidad:

La colectividad microcanónica

Describe un sistema completamente aislado, por tanto con energía constante, que no intercambia energía, ni partículas con el resto del universo.

La colectividad canónica

Describe un sistema en equilibrio térmico con un foco térmico exterior. Sólo puede intercambiar energía en forma de transferencia de calor con el exterior.

La colectividad gran-canónica

Reemplaza a la colectividad canónica para sistemas abiertos que permiten el intercambio de partículas con el exterior.

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Sociofísica

La sociofísica es una novedosa rama de la física interdisciplinaria que aboga por el uso de métodos y conceptos de la física de Sistemas complejos para el estudio de interacciones colectivas en sociedades. No se trata de una mera aplicación de métodos cuantitativos o matemáticos, sino de una nueva concepción de los fenómenos sociales como propiedades emergentes de un conjunto de individuos que interactúan entre sí para producir nuevas conductas que no pueden reducirse al estudio de los componentes aislados. Dado que es una disciplina y un punto de vista nuevo, aun se encuentra en sus comienzos, por lo que se enfoca, en estos momentos, en la búsqueda de patrones generales de las conductas sociales. A medida que progrese el desarrollo de la teoría y la interacción entre físicos, matemáticos y sociólogos, se espera que la interacción desarrolle e implemente experimentos adecuados a los procesos, o provee formas de contrastar las ideas, modelos y teorías creados. En la actualidad la exploración inicial se refiere de manera general a sociedades humanas, lo mismo que a hormigas, primates, criaturas digitales, robots, computadoras, etcétera. La sociofísica esta emparentada con la Econofísica de la que ya se hablo en el artículo anterior de este blog.

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La econofísica

La econofísica es un novedoso campo de investigación científica que aplica teorías y métodos, originalmente desarrollados por físicos, para entender y resolver problemas en la Economía y, especialmente, aquellos que involucran aspectos estocásticos y de Dinámica no lineal.

Ejemplos de econofísica incluyen el uso de la teoría de la Percolación para explicar fluctuaciones en los mercados, el uso de modelos de infarto cardíaco, criticalidad autorganizada y dinámica de placas tectónicas para explicar las caídas en las bolsas de valores.

Es importante mencionar que la Econofísica se contrapone en métodos y filosofía a la economía clásica pues considera que, ésta última, se basa en fundamentos teóricos derivados de una termodinámica del equilibrio que es inaplicable a la realidad,     una rama de estudio emparentada con la Econofísica es la Sociofísica que estudia fenómenos sociales desde la óptica de los Sistemas complejos y la Dinámica no lineal.

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Aplicaciónes de la mecánica estadística

La Mecánica Estadística puede estar construida sobre las leyes de la Mecánica Clásica o la Mecánica Cuántica, según sea la naturaleza del problema a estudiar. Aunque realmente las técnicas de la mecánica estadística pueden aplicarse a campos ajenos a la propia física, como por ejemplo en economía. Así se ha usado la física estadística para deducir la distribución de la renta, así la distribución de Pareto para las rentas altas, puede ser deducida mediante la mecánica estadística suponiendo un estado de equilibrio estacionario para las mismas.

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La fisicoquímica

La fisicoquímica es un conjunto de principios y métodos que ayudan a resolver muchos problemas de diferentes tipos. A continuación se presentan algunos tópicos de la fisicoquímica y sus aplicaciones a problemas específicos de interés.

La termodinámica clásica tiene por objeto el estudio de sistemas en equilibrio.

Para tal efecto, establece criterios de espontaneidad y equilibrio bajo diferentes condiciones de trabajo. La segunda ley de la termodinámica proporciona el concepto de entropía en sistemas aislados. A partir de este concepto surgen otros criterios de espontaneidad y equilibrio entre los cuales el más útil es la energía libre de Gibbs, la cual es utilizada en condiciones de temperatura y presión fijas.

La energía libre de Gibbs de un sistema abierto en una sola fase es función de la presión, la temperatura y del número de moles de las especies químicas existentes.

Duarte C. Ronny J.

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