T
AMBIÉN correspondió a Heike Kamerlingh Onnes observar que a cualquier temperatura T, tal que T < Tc el estado superconductor podía ser destruido por la aplicación de un campo magnético con intensidad mayor que cierto campo magnético crítico. Por otro lado, también notó que a cualquier temperatura T < Tc en ausencia de un campo magnético, el estado superconductor podía destruirse aumentando la corriente por arriba de un valor crítico y, asimismo, que la temperatura de transición superconductora, Tc disminuía cuando la corriente que pasaba por el superconductor crecía. Los efectos de las corrientes eléctricas y de los campos magnéticos sobre el estado superconductor no son ajenos entre sí, ya que la disminución del valor de Tc, con el aumento de la corriente, se debe al campo magnético que la corriente produce. Experimentalmente se encuentra que el valor del campo crítico depende de la temperatura, cayendo de un valor Ho, a temperaturas muy bajas, hasta un valor de cero para la temperatura de transición Tc. Los datos experimentales revelan que la variación del campo crítico con la temperatura queda bastante bien descrita (dentro de 2% o 3%) por una parábola de la forma:
 | (1) |
donde Hc es el campo magnético crítico y Ho es el campo crítico extrapolado al cero absoluto. Cada material puede ser caracterizado por sus valores de Tc y de Ho y, conociendo éstos, se puede utilizar la ecuación (1) para encontrar el campo crítico a cualquier temperatura.
Es de hacer notar que las curvas experimentales de la variación del campo crítico con la temperatura no son exactamente parábolas y para describirlas de una manera más precisa de la ya señalada se requeriría un polinomio en potencias de la temperatura, que en general es de grado diferente de 2. Para la mayoría de los cálculos es suficiente con utilizar la ecuación (1).
CUADRO 2.
Nb3 Al | 18.80 x 104 |
Tl2 Ba2 Ca2 Cu3 O10 | 220.0 x 104 |
El cuadro 2 muestra los valores del campo crítico de algunas sustancias para el valor extrapolado a T = 0 K.
Hemos visto en el capítulo anterior que, en virtud del efecto Meissner-Oschenfeld, el estado de magnetización de un material en el estado superconductor depende sólo de la temperatura de la muestra y del campo magnético aplicado, y no de la manera en que se llega a esos valores.
Es posible, por tanto, aplicar argumentos termodinámicos al estudio del comportamiento de un material en el estado superconductor utilizando como variables la temperatura y el campo magnético.
Sabemos que para comprimir un gas en el interior de un cilindro a presión constante tenemos que realizar un trabajo DW = PDV, donde P es la presión y DV es el cambio en el volumen del gas contenido en el cilindro. Del mismo modo, cuando aplicamos un campo magnético a una muestra el trabajo realizado por unidad de volumen de la muestra es DW = -HdM, el signo menos sólo indica que cuando la magnetización aumenta (dM >0 ) el trabajo se está realizando sobre el sistema.
Con lo anterior se puede encontrar fácilmente el cambio en la energía libre del material al pasar de un estado a otro. Este cambio está dado por el trabajo realizado por el campo magnético aplicado a la muestra. Se encuentra que la cantidad requerida de energía, a temperatura constante, para destruir el estado superconductor, y cuando en el estado inicial existe un campo magnético aplicado, es:
 | (2) |
En la ecuación (2), mo, es una constante que vale 4p X 10-7 henry / metro y es la constante de permeabilidad magnética del vacío; Hc es el campo magnético crítico para una temperatura dada y DGns es el cambio en la energía de la muestra al pasar del estado superconductor al estado normal, por medio de la aplicación de un campo magnético.
Si inicialmente el campo magnético aplicado es cero, Hc = 0, y la ecuación (2 nos da, para este caso, la energía total requerida para destruir el estado superconductor, tendremos que, por unidad de volumen, la diferencia de energía entre el estado normal y el estado superconductor es m0Hc(T)2 /2. Para tener una idea de la magnitud de la energía, hallemos su valor para el plomo y el aluminio. Si suponemos T = 0, para plomo, Hc(0) = 803 Gauss y
Es muy ilustrativo pasar esta energía a ev / átomo, para comparar con las energías típicas de las partículas en el material. Tenemos que hallar el número de partículas de plomo en 1 cm3. Para esto, recordemos que 1 mole de Pb tiene 207 gr y que la densidad del plomo es de 11.4 gr/cm3. Por otro lado, el número de Avogadro es 6.03 x 1023 átomos/mole. Con estos datos encontramos que en, 1 mole de plomo hay 3 X 1022 átomos aproximadamente. De aquí que:
Ahora bien, la energía típica de un electrón en el interior de un metal se puede tomar como la energía de Fermi para ese metal. Para Pb es de aproximadamente 5 ev.
| Por otro lado, la energía típica de un ion en el material se puede tomar como KBQD,donde <I>K<sub>B</sub></I><b> </b>es la constante de Boltzmann y <font face="Symbol"><b>Q</b></font><b><sub><i>D</i></sub></b> es una constante típica del material que se llama la temperatura de Debye. |
De lo anterior podemos darnos cuenta de que la energía involucrada en la transición superconductora es mucho menor que la energía típica de una partícula en el metal.
Veamos ahora el caso del aluminio. Para este metal la energía de transición al estado superconductor es de 1.4 x 10-9 ev/átomo. La energía de Fermi para aluminio es de 1 ev aproximadamente y la energía típica de un ion resulta ser de 5.91 x 10-2 ev/átomo. Nuevamente vemos que la energía de transición al estado superconductor, por partícula, resulta ser mucho menor que las energías típicas de las partículas en el metal.
La magnitud de la energía para la transición al estado superconductor fue una de las pautas para el establecimiento de una teoría microscópica de la superconductividad.
Sabemos, a partir de la termodinámica, que una medida del orden o del desorden en un sistema, la da el valor de la entropía. Si un sistema en un estado dado tiene un valor para la entropía mayor que el valor para el mismo sistema en otro estado, se dice que el segundo estado es más ordenado que el primero. De este modo, si los iones de un metal presentan un arreglo periódico, este estado tendrá menor entropía (y por tanto mayor orden) que el metal en estado líquido.
Una de las primeras preguntas que surgieron cuando se descubrió la superconductividad fue si el estado superconductor es más ordenado (o desordenado) que el estado normal; se puede responder estimando el cambio en la entropía del material al pasar del estado normal al estado superconductor. Haciendo unos cálculos termodinámicos sencillos se puede demostrar que el cambio en el valor de la entropía por unidad de volumen al pasar del estado superconductor al estado normal, DSns, está dado por:
Ahora bien, podemos hacer uso de la expresión de la variación del campo magnético crítico en función de la temperatura para hallar dHc /dT, ecuación (1) y obtenemos que:
y por tanto, DSns > 0, lo cual significa que la entropía en el estado superconductor, es menor que la entropía en el estado normal.
En otras palabras, el estado superconductor es más ordenado que el estado normal del material. Sin embargo, ya vimos anteriormente que una de las propiedades del material que no cambia al pasar al estado superconductor es la estructura cristalina, lo que significa que el mayor ordenamiento que se presenta en el material al pasar al estado superconductor no se debe a un mayor ordenamiento de la red cristalina, ya que ésta no sufre cambio alguno. El ordenamiento tiene que ser de la otra componente del material, de la parte que corresponde a los electrones. Podemos esperar que los electrones lleguen a un estado de mayor ordenamiento del que tienen en estado normal. Este hecho también dio una pauta para el establecimiento de una teoría microscópica de la superconductividad.
Al igual que en un metal en el estado normal, el calor específico de un metal en el estado superconductor consiste, básicamente, en una contribución de la red de iones del metal (o red cristalina), Cr, y una contribución electrónica, Cel. De este modo, siC es el calor específico de un metal en el estado normal: C = Cr + Cel. A bajas temperaturas se tiene que Cel = gT donde g es una constante para cada material, T es la temperatura medida en Kelvin y Cr = A(T /QD)3, donde A es una constante numérica para todos los metales y QD es la temperatura de Debye.
Experimentalmente se encuentra que la contribución electrónica al calor específico en el estado superconductor está dada por:
Esta variación exponencial de la contribución electrónica al calor específico es radicalmente distinta de la correspondiente en el estado normal y también, por cierto, típica de la contribución electrónica al calor específico de un material semiconductor. Ésta era otra indicación de que algo extraordinario estaba ocurriendo con los electrones al pasar el material al estado superconductor. Esta variación del calor específico, en su parte correspondiente a los electrones, también sentó una importante pauta para el establecimiento de una teoría microscópica de la superconductividad.
Figura 7. Variación del calor específico del estaño. El campo magnético aplicado es cero para el caso superconductor, S. El campo magnético aplicado es mayor que el campo magnético crítico para el caso normal, N, como función de la temperatura. Nótese el salto en el valor del calor específico.
Una indicación de que los iones del metal influyen de alguna manera en el cambio de comportamiento de los electrones al pasar al estado superconductor la dio el que fue llamado efecto isotópico. Para entenderlo, recordemos que un isótopo es una variedad de un elemento químico que, teniendo el mismo número de protones, en el núcleo atómico, difiere del elemento químico en el número de neutrones que se encuentran en el mismo núcleo. El efecto isotópico, descubierto en 1950, consiste en que, para un mismo elemento, la temperatura crítica varía de una manera que es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa del isótopo de ese elemento. Así, aunque la red atómica misma no muestra ningún cambio en los superconductores ideales, resultó muy claro que debía desempeñar un papel importante en el cambio de comportamiento de los electrones de conducción en el metal.
De lo que hemos visto anteriormente es claro que algo ha de ocurrir con los electrones del material en estado normal para que se dé el paso al estado superconductor, algo que los vuelva superelectrones, de manera que nada los disperse dentro del material. Pero es claro que no dejan de ser electrones, ya que al subir la temperatura por arriba de la temperatura crítica del material, al aplicar un campo magnético con una intensidad mayor que la del campo magnético crítico correspondientes, o al aplicar una corriente por arriba de la corriente crítica, el material vuelve a su estado normal y, por tanto, también los electrones.
Para entender cómo podemos tener superelectrones, imagine que va caminando por un sendero que presenta obstáculos a su paso: grandes pedruscos, agujeros, etc. Le cuesta trabajo avanzar pues cae al tropezar con los diversos obstáculos, o bien los tiene que rodear. Existe una resistencia a su avance, pues resulta lento y penoso y le cuesta mucha energía, tanto más como mayor número de obstáculos tenga que superar. Ahora suponga que no camina solo, sino en parejas. Así, cuando un miembro de la pareja caiga en un bache, el otro lo ayudará a salir y podrán reanudar su marcha. Así, brazo con brazo, será más fácil sortear los obstáculos del camino. Claro que puede darse el caso en que ambos caigan víctimas de sendos obstáculos y su avance se vea totalmente frenado, al menos por un tiempo breve. Ahora supongamos que en lugar de avanzar en parejas lo hace en tercetos, en cuartetos, en quintetos, etc. Será aún más difícil que el terceto, cuarteto, el quinteto, etc., sea detenido en su camino, porque tendrían que caer todos los elementos del conjunto simultáneamente, víctimas de los obstáculos. Como consecuencia, al trasladarse brazo con brazo los más que se puedan; disminuirá la resistencia a nuestro avance.
Lo señalado en el párrafo anterior puede considerarse válido para el caso de los electrones y la manera de disminuir la resistencia del material a su paso. Podemos pensar que los superelectrones son los electrones en un estado en el que se encuentran unidos entre sí en grandes conjuntos para su avance en el material, de manera que no pueden ser dispersados por nada dentro de él. Así, podemos decir que la transición al estado superconductor lleva a los electrones a amarrarse en grandes enjambres que no encuentran resistencia a su paso por el material, que nos lleva a un estado en el que los electrones se atraen mutuamente. ¿Es esta atracción entre dos electrones posible? La respuesta es sí y la analizaremos con más detalle en la siguiente sección.
En esta sección se dará un argumento de plausibilidad acerca de la ocurrencia de una interacción atractiva entre dos electrones en el metal y se presentará un resumen de lo que se conoce como el Par de Cooper, que constituyó el paso teórico que abrió el camino hacia la teoría microscópica de la superconductividad dada por Bardeen, Cooper y Schrieffer en 1957.
Veamos primero cómo está constituido el metal cristalino (recuérdese que el término cristalino se refiere al hecho de que existe en el metal un arreglo periódico de los iones que lo constituyen). Tenemos iones y electrones. Los iones son los átomos, inicialmente neutros, del elemento, pero desprovistos de sus electrones más exteriores, de manera que el resto, esto es, el núcleo y los demás electrones que permanecían ligados, constituyen los iones en el metal. Queda claro, por tanto, que los iones tienen carga positiva.
Surge la pregunta de cómo ese conjunto de iones positivos que presentan repulsiones de tipo coulombiano, por tener el mismo signo de carga, puede constituir una estructura estable. La respuesta radica en el papel de los electrones en el metal. Los electrones, que cada átomo cedió para formar el metal, son compartidos por todos los iones. De esta manera, los electrones pueden viajar libremente por el metal a través de los iones positivos.
Los electrones, que forman un gas dentro del metal enmascaran o apantallan la carga de cada ion positivo; de esta manera, cada ion positivo se siente atraído hacia una nube de carga negativa y la interacción efectiva entre los iones, mediada de este modo por los electrones; resulta de atracción. Claro que para separaciones muy cortas entre los iones, la nube electrónica que rodea a cada ion es muy delgada, de manera que la nube electrónica no alcanza a enmascarar (o a apantallar) la carga del ion, y la interacción, para estas distancias cortas entre dos iones, es de repulsión. En la figura 8 vemos una gráfica del potencial efectivo de interacción típico en función de la distancia, para dos iones en un metal. Existe un mínimo en la energía de interacción que es mucho más profundo que los demás mínimos presentes. Este mínimo corresponde usualmente a la separación de equilibrio de los iones. Alrededor de este mínimo se encuentran vibrando los iones del metal, en constante agitación.
Figura 8. Potencial efectivo de interacción típico entre dos iones de metal. En este caso el metal es aluminio. El cálculo, de primeros principios de esta interacción se realizó en el Instituto de Física de la
UNAM.Es usual, en el estudio de los sólidos, utilizar lo que se llama la aproximación armónica.
Esta consiste, fundamentalmente, en hacer un desarrollo en serie de Taylor del potencial de la interacción efectiva entre una pareja de iones en el metal. De esta manera, si V(R) es el potencial de interacción entre dos iones del metal y hacemos el correspondiente desarrollo, alrededor de la posición de equilibrio que llamaremos R0: |
| V(R) = V(R0) + V'(R0) (R - R0) + V'' (R0) (R - R0)2 /2+ ..., |
donde V' (R0), V"(R0) son, respectivamente, la primera y la segunda derivadas del potencial con respecto a la separación de los iones calculadas en la posición de equilibrio, R0. Si suponemos oscilaciones pequeñas alrededor de la posición de equilibrio (lo cual puede satisfacerse para temperaturas lejanas y por abajo de la temperatura de fusión del metal), podemos despreciar todos los términos de grado superior a 2. Por otro lado, dado que en R0 existe un mínimo, V'(R0) = 0, obtenemos que: |
 |
Pero V(R0) es una constante y el origen de medición del potencial puede ser elegido a nuestro arbitrio. Escojamos el origen de modo que V(R0) sea cero. Así: |
| V(R) = V''(R0)(R - R0)2 /2 |
y esta expresión corresponde al potencial producido por un resorte, esto es, el potencial de un oscilador armónico. |
Podemos decir que, a temperaturas convenientes (muy por debajo de la temperatura de fusión del material), la forma efectiva en que dos iones interactúan dentro del metal es semejante a si estuvieran unidos por un resorte. Con esto queda claro el significado de la aproximación armónica. Dentro de esta aproximación podemos imaginar al metal como un arreglo periódico de iones donde cada ion queda unido a otro por medio de un resorte, como se muestra en la figura 9. De este modo la red queda como un arreglo tridimensional de osciladores armónicos. Así, las propiedades dinámicas de la red de iones en el metal puede ser estudiada analizando las propiedades dinámicas de la red tridimensional de osciladores armónicos acoplados (figura 9). Se sabe, de la mecánica clásica, que este tipo de arreglos de osciladores, al igual que la cuerda vibrante de una guitarra, presenta modos normales de vibración. Recuérdese que un modo normal de vibración es una manera de vibrar del sistema en el cual todas las partículas oscilan con la misma frecuencia. Cuando se hace el análisis, siguiendo los métodos de la mecánica cuántica, de la dinámica de la red de osciladores armónicos, se encuentra que la energía de vibración está cuantizada. El cuanto (en latín quantum) de energía de vibración del arreglo tridimensional de osciladores recibe el nombre de fonón, en analogía al de fotón, que corresponde al cuanto de vibración del campo electromagnético que da origen a la radiación luminosa. De esta manera, cuando hablemos de fonones, nos estaremos refiriendo a la energía de vibración de la red de iones de la red cristalina
Figura 9. Esquema que representa la aproximación armónica para un sólido.
Resulta claro que cuando hablamos de la interacción electrón-fonón estaremos, en esencia, hablando de las colisiones de los electrones con los iones, puesto que al chocar los electrones con los iones se generan vibraciones en el arreglo tridimensional de osciladores.
Por otro lado, las oscilaciones en la gráfica de la interacción efectiva entre dos iones mostrada en la figura 8, para distancias grandes (mayores que la correspondiente al primer mínimo) tienen una frecuencia bien definida e igual a 2KF donde KF es el vector de onda de Fermi. |
Estas oscilaciones, que se deben al apantallamiento electrónico, reciben el nombre de oscilaciones de Friedel en honor a quien las estudió por primera vez. |
De lo señalado anteriormente para la interacción efectiva entre iones, resulta muy claro cómo los iones de la red cristalina pueden llegar a tener una interacción efectiva de atracción por la acción de los electrones y presentar, de este modo una estructura estable para el metal.
Si ahora nos preguntamos cómo podemos llegar a tener una interacción de atracción entre los electrones de un metal para alcanzar el estado superconductor, de manera natural pensaremos que tiene que ocurrir por la acción de los iones de la red cristalina. Esta conclusión se ve reforzada por la existencia del efecto isotópico, que ya hemos mencionado en una sección anterior.
Sabemos que en el vacío existe una repulsión entre electrones. En el interior de un metal, como ya vimos, tenemos un gas de electrones. De esta manera la interacción electrón-electrón se da en presencia de todos los demás electrones de conducción (o sea, los que tienen libertad de desplazarse por el metal, los que no están ligados a los núcleos). La presencia de los demás electrones es tomada en cuenta, con razonable precisión al estudiar los sólidos, a través de las aproximaciones conocidas como teoría de perturbaciones y teoría de respuesta lineal, por la utilización de una función dieléctrica. La función dieléctrica sirve para tomar en cuenta el efecto de apantallamiento electrónico.
Aunque el signo de la interacción, no cambia, sino que sigue siendo repulsiva. Así queda muy claro que si es posible una interacción de atracción entre dos electrones en el metal, deberemos examinar el efecto de la red de iones sobre los electrones.
Consideremos primeramente un electrón que viaja a través de la red cristalina, como se muestra en la figura 10. Este electrón va tirando de cada ion positivo a su paso, generando una onda de perturbación en la red. Ahora veamos con más detalle a un electrón dentro de la red cristalina (figura 10). Este electrón moverá hacia él a los iones vecinos creando, localmente, un aumento en la densidad de carga positiva, de manera tal que otro electrón que pase por la vecindad de esta región podrá ser atraído por el desbalance de carga positiva existente. Tendremos así que la interacción efectiva entre los dos electrones es de atracción, por la mediación de la red. Podemos pensar que la interacción electrón-fonón-electrón puede ser responsable de una interacción de atracción entre dos, electrones.
Figura 10. Electrón que, al viajar, puede atraer a otro electrón por medio de la red de iones con lo cual puede dar lugar a un par de Cooper.
De hecho, en 1956 L. N. Cooper demostró que, de existir una interacción atractiva entre dos electrones en un metal, estos electrones pueden permanecer ligados el uno con el otro. También demostró que el radio del estado ligado de los dos electrones es del orden de 104 (varios miles de distancias interiónicas en la red cristalina), que es, prácticamente, una magnitud microscópica.
Si pudiéramos llegar a un estado del material en que existieran pares de Cooper, es claro que tendríamos un superconductor ya que, por su enorme tamaño, habría una enorme cantidad de traslapes entre los pares de Cooper, creándose gigantescos enjambres de electrones unidos que no verían resistencia a su paso.
En relación con la atracción entre dos electrones como paso hacia el estado superconductor, en 1956 L. N. Cooper estudia y resuelve el siguiente problema, que marcó un paso muy importante en el entendimiento de la superconductividad y que es conocido actualmente como el par de Cooper. |
Cooper se pregunta que ocurriría si a un sistema de electrones que se encuentra llenando el mar de Fermi (recordemos que el mar de Fermi se refiere al conjunto de estados electrónicos ocupados hasta el nivel de la energía de Fermi), le añadiéramos dos electrones más, con la suposición de que los electrones del mar de Fermi se mantuvieran rígidamente en sus estados, de manera que estos estados no puedan ser accesibles; es decir, que están prohibidos a los dos electrones adicionales por el principio de exclusión de Pauli. En otras palabras, en este problema se toma un mar de Fermi pasivo, o sea, no se hace caso de todas las interacciones y perturbaciones que dos electrones adicionales pudieran tener en los electrones que ocupan el mar de Fermi. |
El problema del par de Cooper constituye un problema ideal que, sin embargo, contiene todos los ingredientes importantes involucrados en el problema de la superconductividad. Constituye, esencialmente un problema de dos cuerpos que, sin embargo, toma en cuenta la presencia de los demás electrones. |
Los dos electrones que se agregan se suponen con energías muy cercanas a la energía de Fermi; pero por fuera de la superficie de Fermi asociada al metal. De este modo, la energía del estado base del nuevo sistema de N+2 partículas es E0(N)+2EF, donde E0(N) es la energía del estado base del sistema original de N electrones. |
Se hace la suposición de que los dos electrones adicionales interaccionan a través de un potencial de dos cuerpos V(X1 - X2) y se hace la aproximación de un gas de electrones libres para el estado inicial del sistema, que es una representación razonable para el estado normal de un metal. Se impone la condición de que los dos electrones introducidos son tales que han de tener ímpetus lineales de igual magnitud pero de sentido contrario y que tengan espines opuestos. La conveniencia de esta condición es la siguiente: el estado base del metal normal tiene ímpetu lineal igual a cero y espín igual a cero (para metales simples) y si no se impusiera esta condición el sistema de N + 2; partículas exhibiría corriente y espín netos diferentes de cero. La interacción entre los electrones se toma como atractiva sin averiguar ni interesarse, por el momento, en el camino que lleve a ella, en cómo puede llegarse a dar esta atracción entre dos electrones en el material. |
Para entender mejor el modelo que se escoge para la interacción pasemos al espacio de Fourier, en donde denotaremos la interacción como V(K1 - K2). Consideremos la esfera de Fermi de radio KF correspondiente a la energía de Fermi EF, como se muestra en la figura 11 y alrededor de esta esfera, un cascarón esférico con un espesor de hwD, donde h es la constante de Planck dividida entre 2p y wD es la frecuencia de Debye. Nótese que el espesor del cascarón es mucho menor que el radio de la esfera de Fermi en virtud de las magnitudes de EF y de hwD. El potencial se escoge de manera tal que V(K1 - K2) = 0, cuando K1 y K2 están fuera del cascarón de espesor hwD, y V(K1 - K2) = -V, donde V es una constante positiva, si K1 y K2 están dentro del cascarón. Nótese que así, si K1 y K2 están ambas dentro del cascarón esférico, la atracción entre los electrones del par es constante. |
Con este modelo, resolviendo el problema cuántico de la función de onda del par y el problema de valores propios de la energía del par, se encuentra que siempre existe un estado ligado, sin importar qué tan débil sea la atracción entre los electrones, esto es, sin importar qué tan pequeña sea la constante V |
Se encuentra que la energía del estado ligado está dada por: |
 |
donde f= N(O)V, siendo N(O) la densidad de estados electrónicos para el nivel de Fermi. El valor de f puede ser aproximado como pn x 10-6, donde p es la resistividad de alta temperatura y n es la densidad electrónica del material. El valor típico de f resulta de 0.3 y así vemos que E resulta ser << hwD. |
Es posible obtener, en el espacio físico, la separación promedio de los elementos del par de Cooper. La raíz cuadrática media del radio de un par, (p2)1/2 se puede calcular por medio de la fórmula: |
 |
donde Y(R) es la función de onda del par. El resultado final es (p2) = 8h2EF/(3m2E2), cuyo valor para un metal como el aluminio resulta de 104 angstroms (o 10-4 cm). Nótese que ésta es una distancia muy grande comparada con una separación típica de electrones en el mismo material que es del orden de 1 angstrom. |
Así que si suponemos que en un material en estado superconductor existen pares de Cooper, habría entre ellos un traslape grande e importante. Tenemos también, como consecuencia de la existencia de los pares de Cooper y la separación macroscópica entre sus elementos, la posibilidad de efectos macroscópicos. |
Puede decirse que el resultado más importante del análisis de Cooper es que al formar un par con electrones que tienen ímpetus de igual magnitud pero de signos opuestos, la disminución de la energía potencial debida a la interacción supera el aumento en la energía cinética que se tiene por arriba de 2EF. Es decir, si los dos electrones quedan representados por un estado Y en el cual son dispersados frecuentemente entre estados con ímpetus de la misma magnitud pero de sentido opuesto, dentro de un intervalo de Dp= mhwD/PF, la energía total del sistema es menor de lo que sería si los electrones estuvieran en estados infinitesimalmente por arriba de la superficie de Fermi pero sin atracción entre ellos. |
Del resultado obtenido para el par de Cooper tenemos que en el espacio físico (espacio R), tomando en cuenta el problema de muchos cuerpos, un electrón con espín hacia arriba y vector de onda k está correlacionado con todos los electrones de vector de onda -k y espín hacia abajo, en un radio de 104 angstroms. En el espacio de Fourier (espacio k) está correlacionado solamente con otro electrón. |
Considerando que en un material en el estado superconductor existen del orden de 1023 electrones y considerando que existen también pares de Cooper, uno podría preguntarse cuál es la probabilidad de encontrar un electrón con vector de onda -k y espín para abajo en un elemento de volumen dV2 a una distancia r de un electrón con vector de onda k y espín para arriba contenido en un elemento de volumen dV<1. |
En el metal en estado normal la probabilidad es independiente de r y la respuesta a la pregunta es n2 dV1 dV2 /4. Para el metal en el estado superconductor y valores muy grandes para la separación r, la respuesta sigue siendo la misma, pero para otros valores de r, la probabilidad es mayor, exhibiendo así el hecho de que es más probable encontrar cercanos entre sí a los electrones apareados que muy separados, como se muestra en la figura 12. Nótese que si le llamamos al radio del par de Cooper r0, en un volumen dado por r03 existen del orden de 107 pares, de tal forma que las funciones de onda se traslapan considerablemente. |
Es interesante hacer notar que el mismo Cooper, en su artículo del año 1956, donde trata el problema del par de electrones, menciona que unos años antes, en 1952, V. L. Ginzburg publicó un trabajo en donde considera un problema semejante al par que considera Cooper. En palabras del propio Cooper, cuando hace referencia al trabajo de V. L. Ginzburg de 1952: "También ha sidosugerido que las propiedades superconductoras pueden resultar si se considera que los electrones pudieran combinarse en agrupamientos pares de tal manera que los agregados resultantes obedecen la estadística de Bose." De este modo podríamos decir que Ginzburg se anticipó en la idea algo así como cuatro años y medio (el trabajo de Cooper se publicó en el mes de diciembre de 1956). |
A pesar de que el par de Cooper tiene espín total cero y corresponde a un par de electrones ligados y pudiera en algunos aspectos seguir la estadística de Bose no es, estrictamente hablando, un bosón. |
Esto puede entenderse fácilmente si se recuerda que el par de Cooper está constituido por dos electrones ligados entre sí. De este modo, los elementos del par de Cooper tienen que satisfacer la estadística de Fermi, ya que deben seguir cumpliendo con el principio de exclusión de Pauli. Esto puede entenderse fácilmente si se recuerda que el par de Cooper está constituido por dos electrones ligados entre sí. De este modo, los elementos del par de Cooper tienen que satisfacer la estadística de Fermi, ya que deben seguir cumpliendo con el principio de exclusión de Pauli. |
Figura 11. Representación, en el espacio de Fourier, del problema del par de cooper.
Figura 12. Probabilidad P(r) dV 1 dV 2 de encontrar a un electrón con vector de onda -k y espín para abajo en un volumen dV2 a una distancia r de un volumen dV 1 que contiene a un electrón con vector de onda k y espín para arriba. Para el metal en el estado normal es n2/4, donde n es la densidad electrónica clásica. Para el estado superconductor la probabilidad es mayor, como puede verse en la gráfica, dentro de un intervalo E ~ 10-4 cm.
El mecanismo que brevemente hemos expuesto para tener la posibilidad de una atracción entre dos electrones es el que se tiene en los superconductores convencionales. Para los nuevos materiales superconductores cerámicos no se sabe con certeza el mecanismo que lleva a la formación de los pares de Cooper. Se tiene ya evidencia de que, al menos en parte, los fonones contribuyen a la formación de los pares de Cooper. Esto es por la presencia de un débil efecto isotópico. También es claro ya que los fonones no son los únicos posibles responsables de la formación de los pares de Cooper y que todo parece indicar que hay varias contribuciones para la formación de éstos. Para los materiales cerámicos superconductores no existe aún una teoría satisfactoria acerca del origen de la superconductividad en ellos. Aunque hay varias propuestas, la controversia no está resuelta.
En 1957, J. Bardeen, L. Cooper, y R. Schrieffer, utilizando la idea del par de Cooper, se abocaron a la tarea de resolver el problema teórico desde el punto de vista de la mecánica cuántica, de la superconductividad en un metal. Supusieron que la interacción atractiva entre dos electrones era por medio de los iones del metal. Tuvieron un éxito rotundo para explicar el fenómeno, especialmente en lo que se refiere a los resultados experimentales de los superconductores ahora conocidos como de Tipo I. Por su teoría, ahora conocida como teoría
BCS, Bardeen, Cooper y Schrieffer recibieron el premio Nobel de Física en 1972. Actualmente se piensa que todos los metales, que son buenos conductores de electricidad, pueden en principio convertirse en superconductores a temperaturas suficientemente bajas.
En la siguiente sección veremos cómo la forma de la muestra de material afecta la presencia de la superconductividad; cómo la geometría de la muestra afecta al estado superconductor, llegándose a lo que se conoce como el estado intermedio.
En electromagnetismo es conocido el fenómeno de la desmagnetización, debido al cual la intensidad de campo magnético, H, en el interior de un cuerpo es un campo desmagnetizante. La forma en que este campo magnético se distribuye depende, en general, de la geometría de la muestra. Para una muestra que es un elipsoide de revolución, con un campo magnético aplicado, Ha, paralelo al eje de revolución de la muestra (figura 13), es posible demostrar que el campo interno es uniforme y paralelo al campo aplicado y que está dado por: Hint = Ha - nM, donde M es la magnetización y n es un factor conocido como factor de desmagnetización y que depende de la geometría del cuerpo.
Figura 13. Muestra cilíndrica en el seno de un campo magnético perpendicular al eje del cilindro. En el interior del cilindro el campo magnético es mayor que fuera de él, por el factor de desmagnetización.
Para un elipsoide alargado, n = (1/e - 1)[(1/2e)ln((1 + e)/ (1 - e)) - 1], donde e es la excentricidad del elipsoide. Para una esfera, n = 1/3; para un cilindro circular recto con su eje perpendicular al campo magnético aplicado n = 1/2 y para el mismo cilindro, pero con su eje paralelo al campo aplicado, n = 0.
De este modo tendremos que el campo magnético en el interior de la muestra va a ser más intenso que en su superficie exterior y así, antes de que el campo aplicado externamente llegue al valor del campo crítico de la muestra tendremos que, en su interior, el valor del campo crítico ya ha sido alcanzado. Al imponer las condiciones de frontera que debe satisfacer el campo H (condiciones de frontera entre las regiones en estado normal y las regiones en el estado superconductor), se deduce que no existe una superficie con fronteras simples para la que se puedan satisfacer las condiciones para el campo H.
El problema puede resolverse notando que las fases normal y superconductora pueden existir una al lado de la otra en equilibrio, de la misma manera que un líquido puede coexistir con su vapor si la presión es igual a la presión del vapor de saturación. Una posible configuración podría constar, por ejemplo, de zonas cilíndricas, delgadas, en estado normal, coexistiendo con la región superconductora. Algunas líneas del campo magnético podrían penetrar la muestra por las regiones en estado normal.
Es posible demostrar que la energía libre del sistema, para una configuración como la mencionada, es menor que la correspondiente cuando toda la muestra se encuentre en el estado normal. También es posible demostrar que es menor que si toda la muestra se encuentra en el estado superconductor.
Al estado de una muestra en el que coexisten fases normales con fases superconductoras, por efectos estrictamente de la geometría de la muestra, se le denomina estado intermedio. Existe evidencia experimental de la existencia del estado intermedio gracias al trabajo de muchos investigadores. Dos de los primeros que informaron sobre la existencia del estado intermedio fueron Shalnikov y Meskovsky, quienes, en 1945, 1947 y 1949, realizaron experimentos muy interesantes al respecto. Lo que hicieron esencialmente en sus experimentos fue explorar la presencia del campo magnético en una pequeña separación entre dos hemisferios de estaño superconductor de un diámetro de unos 4 cm. La exploración del campo magnético entre los dos hemisferios se hizo utilizando un alambre de bismuto muy pequeño.
Figura 14. Diagrama de fases de un material superconductor Tipo I, en términos del campo magnético aplicado y la temperatura. Las regiones que quedan fuera del cuadro que corresponde al estado superconductor, pero que quedan fuera de la zona del estado normal, corresponden al estado intermedio.
Se utilizó bismuto para aprovechar su resistividad, que es muy sensible a la presencia de un campo magnético. Por medio de la sonda de bismuto, se midió el valor del campo magnético adyacente a ella, el cual resultaba cero en la vecindad de regiones superconductoras y era igual, a moHc, en las regiones normales. Desde luego que la distribución de regiones normales y superconductoras resultó mucho más complicada que la estructura que aquí se ha sugerido, pero lo más importante es que se demostró muy claramente la coexistencia de fases normales y superconductoras, esto es, la existencia del estado intermedio (figura 15).
Figura 15. Fotografía que muestra la existencia del estado intermedio en un superconductor Tipo I. Las partes oscuras son las superconductoras y las claras son las que se encuentran ya en estado normal.
Otros métodos para la observación del estado intermedio se basan en la tendencia de las partículas de material ferromagnético a acumularse en regiones de alta intensidad de campo magnético y de partículas de material superconductor (que es un diamagneto perfecto) a acumularse en regiones de baja intensidad de campo magnético.
Fue en 1935 cuando Eugene Wigner (premio Nobel de Física en 1963 por sus contribuciones al estudio del núcleo atómico y las partículas elementales), y Helen Huntington predijeron que el hidrógeno podría llegar a una fase metálica si se le aplicaba una presión hidrostática suficientemente alta. Desde entonces se ha intentado su obtención en el laboratorio para el estudio de sus propiedades.
En 1968 N. W. Ashcroft sugirió por vez primera que el hidrógeno metálico podría ser un material superconductor. Se interesó en este material al notar que Júpiter, planeta que está compuesto principalmente de hidrógeno, presentaba un campo magnético anómalamente intenso. A saber que las presiones en el interior de Júpiter eran enormes (del orden de millones de atmósferas), hizo la conjetura de que quizá el hidrógeno se encontraba allí en estado metálico. Con esta suposición y tomando el valor de algunos parámetros del hidrógeno en estado metálico, hizo una estimación del valor de la posible temperatura de transición superconductora. Obtuvo un valor, de alrededor de 100 Kelvin, que es una temperatura comparable a la existente en el interior de Júpiter. Así sugirió Ashcroft que el campo magnético de ese planeta podría deberse a que el hidrógeno que lo compone se halla en estado superconductor.
Pero había que hacer cálculos mucho más serios y detallados antes de afirmarlo con toda certeza. Cálculos posteriores, sumamente detallados y precisos realizados en México (en el Instituto de Física de la UNAM) llevan a valores de una temperatura de transición para el hidrógeno metálico de alrededor de 300 Kelvin, reforzándose así la sugerencia hecha por Ashcroft. Los cálculos sobre la densidad del hidrógeno en Júpiter varían de 0.l gr/cm3, en la superficie a 5 gr/cm3 cerca del centro, lo que indica que el hidrógeno bien puede estar en estado sólido y que, además, pudiera ser metálico.
En el laboratorio, el hidrógeno metálico es difícil de obtener. Sin embargo, en 1972 un grupo de científicos soviéticos (Grigorev y colaboradores) lo obtuvo por vez primera. También en la
URSS, en 1975, Vereshchagen y colaboradores lo obtuvieron nuevamente. Utilizaron una técnica de implosión de dos cilindros concéntricos para alcanzar las elevadas presiones que se requieren y observaron un cambio brusco en el valor de la conductividad eléctrica del hidrógeno. Desde luego que solamente se mantuvo por unas fracciones de segundo, insuficientes para detectar las propiedades de este material. En Japón también, en 1980, se informó sobre la obtención de hidrógeno metálico con una técnica muy distinta, en la que las altas presiones se obtenían por medio de presiones ejercidas con un tornillo. Pero parece que este experimento no ha sido reproducible. Posteriormente se pudo obtener hidrógeno cristalino, pero sin llegar a establecer si era metálico, ejerciendo presión sobre el material por medio de yunques de diamante, a presiones de 2.5 millones de atmósferas. Esto fue a mediados del decenio 1980-1990. En marzo de 1996 se obtuvo hidrógeno metálico a partir de hidrógeno fluido utilizando un cañón de dos etapas para crear una onda de choque de enorme presión sobre un blanco que contenía hidrógeno líquido enfriado a 20 K. El experimento fue realizado en el Laboratorio Nacional Lawrence Livermore, de Estados Unidos. La presión requerida fue de 1.4 millones de atmósferas. El estado metálico del hidrógeno no duró lo suficiente como para determinar si se encontraba en el estado superconductor.
La posibilidad de obtener un superconductor de alta temperatura crítica ha sido muy atractiva desde el momento en que se descubrió la superconductividad. Los beneficios tecnológicos que se obtendrían son muy claros y nos referiremos a ellos en el último capítulo. Se ha desplegado un enorme esfuerzo, tanto teórico como experimental, hacia la consecución de un material superconductor de alta temperatura crítica, y no fue sino hasta 1987 cuando, con una clase totalmente nueva de materiales superconductores, los superconductores cerámicos, se lograron temperaturas del orden de 100 Kelvin. El manejo tecnológico de los materiales cerámicos es bastante problemático, pero no es imposible.
Los superconductores cerámicos pertenecen a la clase conductores denominados Tipo II o superconductores duros. Presentan elevados valores para el campo magnético crítico. En el siguiente capítulo nos ocuparemos de las principales características de los superconductores Tipo II.
Héctor A. Chacón C.
No hay comentarios:
Publicar un comentario