El modelo de Ising

 

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El modelo de Ising es un modelo físico propuesto para estudiar el comportamiento de materiales ferromagnéticos. Se trata de un modelo paradigmático de la Mecánica Estadística, en parte porque fue uno de los primeros en aparecer, pero sobre todo porque es de los pocos modelos útiles (no sólo pedagógicamente) que tiene solución analítica exacta (esto es, sin cálculos aproximados). Esto lo hace muy útil para ensayar nuevos tipos de aproximaciones y luego comparar con el resultado real.

Fue propuesto por Ernst Ising, quien intentaba demostrar que el sistema presentaba una transición de fase. Demostró que en una dimensión no existía tal transición, cosa que le provocó una profunda desmoralización e hizo que renunciara a la física estadística. A esta primera aproximación le siguió la del modelo de Ising en dos dimensiones, resuelta por Lars Onsager. La solución de Onsager al modelo de Ising en dos dimensiones sin campo demostró que la física estadística era capaz de describir transiciones de fase (pues como veremos, éste modelo presenta una) lo que terminó de consolidar definitivamente la mecánica estadística.

Descripción cualitativa

Supongamos N partículas colocadas en una matriz cuadrada (algo así las plantas en una parcela de vid). Cada partícula puede apuntar sólo en dos sentidos, arriba o abajo. Cada una de esas orientaciones se llaman espín de la partícula. El sentido del espín queda determinado mediante la interacción de la partícula con sus vecinas y por fluctuaciones térmicas.

El Hamiltoniano del modelo

La energía del sistema es

donde: H es el hamiltoniano del sistema

∑

i,j

denota una suma sobre partículas vecinas entre sí

σ_i es el espín de la partícula i-ésima, que puede tomar sólo dos valores, +1 y -1

J es el factor de escala entre interacción entre espines y energía. Es un parámetro de la teoría.

Por ejemplo, supongamos que tenemos todos los espines apuntando hacia arriba, esto es σ_i = 1 siempre. En este caso, la energía total es − J veces el número diferentes parejas de próximos vecinos, que es 2N (se podría pensar que cada espín tiene cuatro espines, pero no debemos contarlos dos veces por tanto tenemos que dividir por dos). Por tanto la energía del estado fundamental es H₀ = − 2JN. El primer estado excitado es que un sólo espín apunte hacia abajo, con energía H₁ = − 2JN + 8J y así sucesivamente.

La función de partición

El problema se resuelve simplemente calculando la función de partición (véase Colectivo Canónico):

donde se refiere a suma sobre todas las configuraciones posibles de los N espines (llamados micro estados).

Kevin Osman Perez Leon EES Secc 1