Física estadística

La física estadística o mecánica estadística es la parte de la física que trata de determinar el comportamiento agregado termodinámico de sistemas macroscópicos a partir de consideraciones microscópicas utilizando para ello herramientas estadísticas junto a leyes mecánicas.

La física estadística puede describir numerosos campos con una naturaleza estocástica (reacciones nucleares, sistemas biológicos, químicos, neurológicos, etc.).
En principio podríamos obtener toda la información necesaria sobre el comportamiento del sistema construyendo e integrando las ecuaciones del movimiento para todos los grados de libertad del sistema, sin embargo y debido al orden de magnitud del número de partículas en los sistemas macroscópicos (10²⁵ partículas) tal enfoque es impracticable, ya que requeriría la resolución de un número increíblemente grande de ecuaciones diferenciales; no sólo eso, sino que introducir las condiciones iniciales de tal sistema sería imposible.
La utilidad de la física estadística consiste en ligar el comportamiento microscópico de los sistemas con su comportamiento macroscópico, de modo que conociendo el comportamiento de uno se pueden averiguar detalles del comportamiento del otro.

Ejemplos de aplicación

Empíricamente la termodinámica ha estudiado los gases y ha establecido su comportamiento macroscópico con alto grado de acierto. Gracias a la fisica estadística es posible deducir las leyes termodinámicas que rigen el comportamiento macroscópico de este gas, como la ecuación de estado del gas ideal o la ley de Boyle-Mariotte, a partir de la suposición de que las partículas en el gas no están sometidas a ningún potencial y se mueven libremente con una energía cinética igual a ${1 \over 2} m v^2$ colisionando entre sí y con las paredes del recipiente de forma elástica. El comportamiento macroscópico del gas depende de tan sólo unas pocas variables macroscópicas (como la presión, el volumen y la temperatura). Este enfoque particular para estudiar el comportamiento de los gases se llama teoría cinética.
Para predecir el comportamiento de un gas, la mecánica exigiría calcular la trayectoria exacta de cada una de las partículas que lo componen (lo cual es un problema inabordable). La termodinámica hace algo radicalmente opuesto, establece unos principios cualitativamente diferentes a los mecánicos para estudiar una serie de propiedades macroscópicas sin preguntarse en absoluto por la naturaleza real de la materia de estudio. La mecánica estadística media entre ambas aproximaciones: ignora los comportamientos individuales de las partículas, preocupándose en vez de ello por promedios. De esta forma podemos calcular las propiedades termodinámicas de un gas a partir de nuestro conocimiento genérico de las moléculas que lo componen aplicando leyes mecánicas.

Historia

Los años cincuenta del Siglo XIX marcaron un hito en el estudio de los sistemas térmicos. Por esos años la termodinámica, que había crecido básicamente mediante el estudio experimental del comportamiento macroscópico de los sistemas físicos a partir de los trabajos de Carnot, Joule, Clasious y Kelvin, era una disciplina estable de la física. Las conclusiones teóricas deducidas de las primeras dos leyes de la termodinámica coincidían con los resultados experimentales. Al mismo tiempo, la teoría cinética de los gases que se había basado más en la especulación que en los cálculos, comenzó a emerger como una teoría matemática real. Sin embargo, no fue hasta que Boltzmann en 1872 desarrollara su teorema-H y de este modo estableciera el enlace directo entre la entropía y la dinámica molecular. Prácticamente al mismo tiempo, la teoría cinética comenzó a dar a luz a su sofisticado sucesor: la teoría del ensemble.
El poder de las técnicas que finalmente emergieron redujeron la categoría de la termodinámica de "esencial" a ser una consecuencia de tratar estadísticamente una gran número de partículas que actuaban bajo las leyes de la mecánica clásica. Fue natural por tanto denominar a la nueva disciplina Mecánica (o física) estadística.

Aplicación en otros campos

La Mecánica Estadística puede estar construida sobre las leyes de la Mecánica Clásica o la Mecánica Cuántica, según sea la naturaleza del problema a estudiar. Aunque realmente las técnicas de la mecánica estadística pueden aplicarse a campos ajenos a la propia física, como por ejemplo en economía. Así se ha usado la física estadística para deducir la distribución de la renta, así la distribución de Pareto para las rentas altas, puede ser deducida mediante la mecánica estadística suponiendo un estado de equilibrio estacionario para las mismas (ver econofísica).

Relación Estadística-Termodinámica

La relación entre estados microscópicos y macroscópicos (es decir, la termodinámica) viene dada por la famosa fórmula de Boltzmann de la entropía:

$S(E,N,V)=k_B\log(\Omega) \,$

Donde:

Ω

es el número de estados microscópicos compatibles con una energía, volumen y número de partículas dado

k B

es la constante de Boltzmann.
En el término de la izquierda tenemos la termodinámica mediante la entropía definida en función de sus variables naturales, lo que da una información termodinámica completa del sistema. A la derecha tenemos las configuraciones microscópicas que definen la entropía mediante esta fórmula. Estas configuraciones se obtienen teniendo en cuenta el modelo que hagamos del sistema real a través de su Hamiltoniano mecánico.
Esta relación, propuesta por Ludwig Boltzmann no fue aceptada por la comunidad científica hasta después de la muerte de éste, en parte debido a que contiene implícito la existencia de átomos, cosa que no estaba muy clara en la época. No obstante, esta expresión no es la más apropiada para realizar cálculos reales. Ésta es la llamada ecuación puente en el Colectivo Micro Canónico. Existen otros colectivos, como el Colectivo Canónico o el Colectividad macrocanónica que son de más interés práctico.

Postulado fundamental

El postulado fundamental de la mecánica estadística, conocido también como postulado de equiprobabilidad a priori, es el siguiente:

Dado un sistema aislado en equilibrio, el sistema tiene la misma probabilidad de estar en cualquiera de los microestados accesibles

Este postulado fundamental es crucial para la mecánica estadística y afirma que un sistema en equilibrio no tiene ninguna preferencia por ninguno de los microestados disponibles para ese equilibrio. Si Ω es el número de microestados disponibles para una cierta energía, entonces la probabilidad de encontrar el sistema en uno cualquiera de esos microestados es p = 1/Ω;
Este postulado es necesario para poder afirmar que dado un sistema en equilibrio, el estado termodinámico (macroestado) que está asociado a un mayor número de microestados es el macroestado más probable del sistema. Este postulado puede ligarse a la función de información dada por:

$I = \sum_i \rho_i \ln\rho_i = \langle \ln \rho \rangle$

Cuando todas las rho's son iguales, la función de información I alcanza un mínimo. Así en el macroestado más probable además es siempre uno para el que existe una mínima información sobre el microestado del sistema, de eso se desprende que en un sistema aislado en equilibrio la entropía sea máxima (la entropía puede considerarse como una medida de desorden, a mayor desorden mayor desinformación, y por tanto un menor valor de I).

La entropía como desorden

En todos los libros de termodinámica se interpretan la entropía como una medida del desorden del sistema. De hecho, a veces se enuncia el segundo principio de la termodinámica diciendo que el desorden de un sistema aislado sólo aumenta. Es importante saber que no obstante esta relación viene, como acabamos de saber, de la mecánica estadística. La termodinámica no es capaz de establecer esta relación por sí misma, pues no se preocupa en absoluto por los estados microscópicos. En este sentido la mecánica estadística es capaz de demostrar la termodinámica, ya que partiendo de unos principio más elementales (a saber, los mecánicos) obtiene por deducción estadística el segundo principio.

Procedimientos de cálculo

La formulación moderna de esta teoría se basa en la descripción del sistema físico por un elenco de conjuntos o colectividad que representa la totalidad de configuraciones posibles y las probabilidades de realización de cada una de las configuraciones.
A cada colectividad se le asocia una función de partición que, por manipulaciones matemáticas, permite extraer los valores termodinámicos del sistema. Según la relación del sistema con el resto del universo, se distinguen generalmente 3 tipos de colectividades, en orden creciente de complejidad:

la colectividad microcanónica: describe un sistema completamente aislado, por tanto con energía constante, que no intercambia energía, ni partículas con el resto del universo.
la colectividad canónica: describe un sistema en equilibrio térmico con un foco térmico exterior. Sólo puede intercambiar energía en forma de transferencia de calor con el exterior.
la colectividad gran-canónica: reeemplaza a la colectividad canónica para sistemas abiertos que permiten el intercambio de partículas con el exterior.

Tabla resumen de colectividades en física estadística	Colectividades :
Tabla resumen de colectividades en física estadística	Microcanónica	Canónica	Gran-canónica
Variables fijas	E, N, V o B	T, N, V o B	T, μ, V o B
Función microscópica	número de microestados $Ω$	Función de partición canónica $Z = \sum_k e^{-\beta E_k}$	Función de partición gran-canónica $\Xi \ = \ \sum_i e^{ -\beta (E_k - \mu N_k ) }$
Función macroscópica	$S \ = \ k_B \ \ln \Omega$	$F \ = \ - \ k_B T \ \ln Z$	$F-G=-p V =- \ k_B T \ln \Xi$