Fundamentos básicos
Estadística de Fermi - Dirac
Vamos a calcular el número W de microestados correspondientes a un macroestado determinado de un sistema de N fermiones, es decir, de un sistema de partículas que obedece al principio de exclusión de Pauli. Un macroestado nos vendrá determinadopor el conjunto de números {ni} que nos indica que el número de partículas ni que existen en cada nivel energético Ei, cuya degeneración designamos por gi. Por el principio de exclusión de Pauli, como máximo puede existir una partícula por compartimento, es decir,
. Si ni compartimentos de una celda están llenos, (gi - ni) están vacíos. Por el cálculo de números combinatorios, sabemos que el número de formas distintas de distribuir gi objetos de dos categorías, siendo ni los de una categoría y (gi - ni) los de otra, es:
Según eso, el número total de formas en que podemos poner N partículas en las celdas con n1 en la primera celda, n2 en la segunda, etc., es:
Nos planteamos ahora el problema de saber, en el caso de un sistema en equilibrio, es decir, un sistema en el que se conservan el número de partículas, N, y su energía total, E, cual de todos los posibles macroestados es el más probable. Para ello plantearemos la hipótesis de que todos los microestados son igualmente probables, con lo cual, el macroestado con mayor número de microestados será el más probable. Según eso, el conjunto de números {ni} que maximiza a W corresponderá al macroestado buscado.
Puesto que ln W varía monótonamente con W, calcularemos el máximo de ln W en vez del de W. De la expresión anterior podemos deducir:
Si suponemos que gi y ni son grandes, y (gi - ni) >> 1, por la fórmula de aproximación de Stirling:
tenemos:
Considerando las variables ni continuas y teniendo en cuenta que gi permanece constante, el máximo de ln W lo obtenemos resolviendo:
Las variaciones dni no son independientes debido a las condiciones restrictivas concernientes a la conservación de la energía y al número de partículas:
Por lo tanto, para encontrar el máximo buscado aplicamos el método de los multiplicadores de Lagrange con las condiciones anteriores, es decir:
de donde resulta:
y tomando antilogaritmos:
El cociente (ni/gi) = n(Ei) se denomina índice de ocupación de un copartimento de energía Ei. este valor representa el número medio de partículas por compartimento a dicha energía y resulta ser independiente de la distribución detallada de los compartimentos como una función de E.
La identificación de las constantes a y b con magnitudes termodinámicas del sistema se realiza considerando dos sistemas, uno con energía E, distribución ni y espectro Ei, y otro con energía (E + dE), distribución (ni + dni) y espectro (Ei + dEi). De (10) obtenemos:
Si mediante (11) sustituimos Ei•dni, resulta:
y de (9) y (10) obtenemos:
El espectro Ei cambia solamente con el volumen V del sistema, ya que viene determinado por las condiciones de contorno del problema. Podemos escribir entonces:
Por otra parte tenemos que la primera ley de la termodinámica se expresa:
siendo T la temperatura, S la entropía, P la presión y m el potencial electroquímico. Si consideramos además la definición microscópica de la entropía:
Donde k es la constante de Boltmann, podemos identificar a y b (letra b) comparando las ecuaciones (15) y (16):
Por todo ello, finalmente, resulta:
La f0(Ei) es la llamada función de distribucón de Fermi - Dirac. Atendiendo a la definición de ni y gi, f0(Ei) representa la probabilidad de que un estado de energía e contenga una partícula (fermión). Es usual denominar al potencial químico, m, en el caso de fermiones, nivel de Fermi que, ene general, será función de la temperatura. Su valor para T = 0, que representaremos por
recibe el nombre de energía de Fermi (como es evidente, m tiene dimensiones de energía.
Estadística de Fermi - Dirac
Vamos a calcular el número W de microestados correspondientes a un macroestado determinado de un sistema de N fermiones, es decir, de un sistema de partículas que obedece al principio de exclusión de Pauli. Un macroestado nos vendrá determinadopor el conjunto de números {ni} que nos indica que el número de partículas ni que existen en cada nivel energético Ei, cuya degeneración designamos por gi. Por el principio de exclusión de Pauli, como máximo puede existir una partícula por compartimento, es decir,
. Si ni compartimentos de una celda están llenos, (gi - ni) están vacíos. Por el cálculo de números combinatorios, sabemos que el número de formas distintas de distribuir gi objetos de dos categorías, siendo ni los de una categoría y (gi - ni) los de otra, es:Según eso, el número total de formas en que podemos poner N partículas en las celdas con n1 en la primera celda, n2 en la segunda, etc., es:
Nos planteamos ahora el problema de saber, en el caso de un sistema en equilibrio, es decir, un sistema en el que se conservan el número de partículas, N, y su energía total, E, cual de todos los posibles macroestados es el más probable. Para ello plantearemos la hipótesis de que todos los microestados son igualmente probables, con lo cual, el macroestado con mayor número de microestados será el más probable. Según eso, el conjunto de números {ni} que maximiza a W corresponderá al macroestado buscado.
Puesto que ln W varía monótonamente con W, calcularemos el máximo de ln W en vez del de W. De la expresión anterior podemos deducir:
Si suponemos que gi y ni son grandes, y (gi - ni) >> 1, por la fórmula de aproximación de Stirling:
tenemos:
Considerando las variables ni continuas y teniendo en cuenta que gi permanece constante, el máximo de ln W lo obtenemos resolviendo:
Las variaciones dni no son independientes debido a las condiciones restrictivas concernientes a la conservación de la energía y al número de partículas:
Por lo tanto, para encontrar el máximo buscado aplicamos el método de los multiplicadores de Lagrange con las condiciones anteriores, es decir:
de donde resulta:
y tomando antilogaritmos:
El cociente (ni/gi) = n(Ei) se denomina índice de ocupación de un copartimento de energía Ei. este valor representa el número medio de partículas por compartimento a dicha energía y resulta ser independiente de la distribución detallada de los compartimentos como una función de E.
La identificación de las constantes a y b con magnitudes termodinámicas del sistema se realiza considerando dos sistemas, uno con energía E, distribución ni y espectro Ei, y otro con energía (E + dE), distribución (ni + dni) y espectro (Ei + dEi). De (10) obtenemos:
Si mediante (11) sustituimos Ei•dni, resulta:
y de (9) y (10) obtenemos:
El espectro Ei cambia solamente con el volumen V del sistema, ya que viene determinado por las condiciones de contorno del problema. Podemos escribir entonces:
Por otra parte tenemos que la primera ley de la termodinámica se expresa:
siendo T la temperatura, S la entropía, P la presión y m el potencial electroquímico. Si consideramos además la definición microscópica de la entropía:
Donde k es la constante de Boltmann, podemos identificar a y b (letra b) comparando las ecuaciones (15) y (16):
Por todo ello, finalmente, resulta:
La f0(Ei) es la llamada función de distribucón de Fermi - Dirac. Atendiendo a la definición de ni y gi, f0(Ei) representa la probabilidad de que un estado de energía e contenga una partícula (fermión). Es usual denominar al potencial químico, m, en el caso de fermiones, nivel de Fermi que, ene general, será función de la temperatura. Su valor para T = 0, que representaremos por
recibe el nombre de energía de Fermi (como es evidente, m tiene dimensiones de energía. En la figura adjunta se representa la forma f0(Ei) para distintos valores de la temperatura y donde Ei se ha tomado como variable continua. |  |
y, por tanto, los estados con energía menor que la del nivel de Fermi, siempre tienen (ni/gi) > 1/2 y los que poseen una energía superior, (ni/gi) < 1/2.
Otro punto a señalar es que en rigor, las curvas de la figura anterior sólo poseen significado para ciertos valores de Ei, pues como sabemos, los posibles valores de la energía de una partícula localizada en una cierta región del espacio, tienen espectro discreto.
http://www.matematicasypoesia.com.es/monografias/MecEst02.htm
Héctor A. Chacón C.
No hay comentarios:
Publicar un comentario